【解き方】
まず、合同条件の確認です。
◎直角三角形の合同条件
- 斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい。
- 斜辺と他の一鋭角がそれぞれ等しい。
この設問で証明したいのは、PQ=PB+QCとなること。PQ=PA+QAなので、つまりPA=QC、PB=QAであることを証明するとよいのです。そのためには、△PBA（ピンクの三角形）≡△QAC（水色の三角形）となることを証明しなくてはなりません。
問題に、△ABCは直角二等辺三角形であることが書かれているので、∠BPA=∠AQC=90°、BA=ACは仮定として処理できます。直角と斜辺が等しいのはよいとして、もう１つの条件は「他の一辺」か「他の一鋭角」か迷いどころですが、証明するのが辺の長さなので、「他の一辺」は使えないことになります。
どちらの角でもよいのですが、図中の？マークの角が等しくなることをここでは説明します。単純に「∠PBA=∠QAC」とは言えません！（それだけですと減点対象）
そこで、証明でよく使う三段論法（A=B、B=CならA=Cとなるという流れ）を用います。注目するのは∠BAQ（図の赤い円弧の角）です！この角は、△PBAの∠PBAと∠BPA(90°）の隣り合わない外角です。
三角形の一つの外角の大きさは、隣り合わない２つの内角の和に等しい。つまり、∠BAQ＝∠PBA＋90°となります。
また、∠BAQ＝90°（直角二等辺三角形の角の１つ）＋∠QACなのは、図から明らかですよね。この２つのことから、初めて∠PBA=∠QACが言えるようになり、２つの三角形は合同という運びになります。
【解答例】 △PBAと△QACにおいて、
∠BPA=∠AQC=90°（仮定）……①※直角を忘れずに書く！
AB=CA（仮定）……………②
∠BAQ＝∠PBA＋90°
∠BAQ＝90°＋∠QAC
∠PBA=∠QAC…………………③
①～③より、直角三角形の斜辺と他の一鋭角がそれぞれ等しいので、
△PBA≡△QAC
合同な図形の性質より、PA=QC、PB=QA。また、PQ=PA+QAなので、PQ=PB+QCとなる。
